クイーンズタウンで１，２ヶ月泊まれる宿ですね。
なかなか短期でも長期でもない難しい長さですが、ないことはないです。
ただ、クイーンズタウンはNZ最大の観光地なので、夏＆冬のシーズン中の宿代はかなり高い、もしくは宿がないのでその点は覚悟しておいてください。
また宿代（家賃）は週払いの表記が基本です。（1$=90円）
ホテル宿泊はなしにして、３つくらい提案してみます。
1. 現地の家または１部屋を借りる
「Trade Me」というサイト（下リンク）で現地の不動産検索できます（英語）。
http://www.trademe.co.nz/Browse/CategoryAttributeSearchResults.aspx?search=1&cid=5748&sidebar=1&132=FLAT&selected135=70&134=10&135=70&216=0&216=0&217=0&217=0&153=&122=0&122=2&123=0&123=0&59=0&59=0&178=0&178=0&sidebarSearch_keypresses=0&sidebarSearch_suggested=0
基本的に長期滞在者向けですが、1,2ヶ月でも探せるかもしれません。ただ、日本から契約手続きを全て終わらせるのは難しいです。敷金なども必要になります。
家賃：$350／週～
現地の日本人の家に滞在する方法もあります。
ただ、クイーンズタウンは件数がほとんどないです。
https://nzdaisuki.com/classified/house
2. 自炊できるロッジ（アパートの1室）を借りる
例えば、クイーンズタウン以下のようなロッジがあります。冬にスキー客が１，２ヶ月滞在するような宿です。
http://reavers.co.nz
http://www.shotoverlodge.co.nz
上の宿は街中にあります。下の宿は町から離れています。
長期の申込みはHPから直接問い合わせになるかもしれません。
家賃：$400／週くらい～
3. 安宿（YHA、バックパッカーズ）を借りる
シーズンを外せば、旅行者用の安宿を長期で借りることも可能です。
例えばクイーンズタウンのYHA。
https://www.tripadvisor.jp/Hotel_Review-g255122-d257543-Reviews-YHA_Queenstown_Lakefront-Queenstown_Otago_Region_South_Island.html
値段は泊まる部屋によります。
ドミトリー（共同部屋）でよければ、一人$25～。
まだ他にも方法はありますが、現地にいかないとできない手段ばかりなので、ひとまずこの辺でお探し下さい。
