ご両親のうちいずれかが永住権取得後で、NZで出産をする場合は、
お子さんはNZ市民権の取得が可能です。
21歳までは日本とNZの二重国籍ということになりますね。
永住権取得前の場合は、お子さんは日本国籍を取得、産後にパスポートを申請して、
ワークビザ保持者の子供として観光ビザを申請することになるのではないでしょうか。
(就学年齢になれば、学生ビザが必要になりますね。)
NZで出産の場合になりますが、出生届はNZでは、オンラインでできます。
http://www.dia.govt.nz/Services-Births-Deaths-and-Marriages-Births?OpenDocument
日本の場合はNZの出生届提出後Birth Certificateが取得できたら
出生届を領事館・大使館に提出します。(産後3ヶ月以内)
(日本のパスポートは、提出後、2か月程度で戸籍に反映されますので、
それから申請が可能となります。)
http://www.auckland.nz.emb-japan.go.jp/itpr_ja/ryoji_koseki01.html
次に出産費用ですが、ワークビザでも通算2年以上あればGovernment fundの
利用が可能なのでPublicであれば基本無料です。(エコーなどは有料)
自費での支払いの場合は、妊婦がVisaを申請の際は9000㌦の残高証明が必要となって
いるので、そのくらいが目安なのではないでしょうか。ただし、万が一帝王切開や、
難産で治療が必要などとなった場合は、もっとかかるのではないかと思います。
ただ、奥様がワークビザの主申請者の場合、産休をとってもワークを更新
してもらえるかどうか・・・、これは雇用主次第になるでしょうね。。。